高廣運(yùn)1，徐晨曉1,2，趙元一3
（1.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；
3. 中天建設(shè)集團(tuán)第三分公司，上海 200232)
摘 要：以Biot波動(dòng)方程為基礎(chǔ)，結(jié)合固、液兩相質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)守恒方程，采用Newmark直接積分方法，得出了在豎向動(dòng)荷載作用下群樁及周?chē)孛娴膭?dòng)力響應(yīng)，并與Lamb解析解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果分析表明：土體泊松比增加使隔振效果影響趨于明顯，采用大型群樁基礎(chǔ)可有效降低承臺(tái)及土體表面位移幅值，高強(qiáng)混凝土能有效減少承臺(tái)表面振動(dòng)幅值而不能削弱較遠(yuǎn)處土體表面振動(dòng)，增加樁長(zhǎng)對(duì)隔振效果影響有限，滲透系數(shù)對(duì)振動(dòng)幅值的影響可以忽略不計(jì)。
關(guān) 鍵 詞：飽和層狀地基；群樁；豎向振動(dòng)；有限元
中圖分類(lèi)號(hào)：TU 443 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
Dynamic response analysis of pile groups under vertical loading induced by track loadings in saturated ground
GAO Guang-yun1, 2, XU Chen-xiao1, 2, ZHAO Yuan-yi 3
(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092;
2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092
3. The Third Branch of Zhongtian Construction Bloc, Shanghai 200232)
Abstract: ba
sed on Biot’s wave propagation equation and boundary conditions, combined with solid and liquid phase’s mass and motion co
nservation equation, using Newmark direct integral method, obtained the dynamic respo
nse of the pile and ground under vertical dynamic load, and compared with analytical solutions of lamb. The calculation result shows that the increasing of Poisson’s ratio makes vibration isolation effects tend to be more obvious, the large group pile foundation can effectively reduce the soil pile caps and soil surface’s displacement amplitude, high strength co
ncrete can effectively reduce the pile caps’ vibration amplitude but can’t weaken the vibration of further soil surface, the raising of pile length has limited effect on the vibration isolation performance, the influence of permeability coefficient to vibration amplitude can be neglected.
Key words: Saturated layered ground; pile groups; vertical vibration; FEM
1 引言
豎向動(dòng)荷載作用下地表的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題是研究樁-土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用課題的一個(gè)重要部分。對(duì)于樁-土體系的計(jì)算模型主要有三種：連續(xù)介質(zhì)模型、動(dòng)力Winkler地基模型以及各種數(shù)值方法建立的模型。
連續(xù)介質(zhì)模型多是基于土體波動(dòng)方程和樁的振動(dòng)方程，能很好地考慮樁周土體的影響；但其數(shù)學(xué)求解復(fù)雜且有較多簡(jiǎn)化條件，因而應(yīng)用受到限制。Tajimi[1]，Novak等[2-3]研究了均質(zhì)彈性單相地基樁土動(dòng)力相互作用。Zeng和Rajapakse[4]用虛擬樁法分析了飽和半空間中樁的縱向振動(dòng)。Wang等[5]在文獻(xiàn)[4]基礎(chǔ)上利用樁–土–樁相互作用因子，求解了飽和土中群樁的動(dòng)力響應(yīng)；周香蓮等[6]給出了分層飽和土中群樁的簡(jiǎn)諧振動(dòng)解。
動(dòng)力Winkler方法用一系列相互獨(dú)立的線(xiàn)性或非線(xiàn)性彈簧來(lái)模擬土對(duì)樁體產(chǎn)生的抗力，可以考慮土體隨深度的變化，運(yùn)算簡(jiǎn)單。但樁周土過(guò)于簡(jiǎn)化，且如何有效的確定彈簧和阻尼器常數(shù)尚有待研究。Dobry 和Gazetas[7]提出一種均勻土層中計(jì)算動(dòng)力相互作用因子的簡(jiǎn)化方法，但沒(méi)有考慮被動(dòng)樁與土體之間的動(dòng)力相互作用， Makris和Gazetas[8]對(duì)上述方法改進(jìn)，考慮了被動(dòng)樁與土體之間的動(dòng)力相互作用。Mylonakis和Gazetas[9]以及高廣運(yùn)等[10,17]分析了層狀地基樁土動(dòng)力相互作用和群樁動(dòng)力響應(yīng)。燕彬等[11]分析了柔性承臺(tái)板的樁土動(dòng)力相互作用。
數(shù)值計(jì)算方法雖然計(jì)算耗時(shí)較多，但能充分考慮工況變化。應(yīng)用較多的是邊界元方法和有限元方程及其混合方法，Wolf和Vonarx[12]用有限層和有限元結(jié)合的方法，分析了群樁垂直阻抗的工作機(jī)理。PandronMaeso[13]采用有限元和邊界元結(jié)合的方法，分析了樁-土體系在豎向、水平以及彎矩動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。Zhang等[14]和尚守平等[15]則考慮了上部結(jié)構(gòu)的動(dòng)力相互作用特性。
本文以Biot方程為基礎(chǔ)，采用Newmark直接積分方法，得出了在豎向動(dòng)荷載作用下群樁及周?chē)孛娴膭?dòng)力響應(yīng)，并與Lamb數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。
2 計(jì)算假定和方程的簡(jiǎn)化離散
2.1 動(dòng)力方程推導(dǎo)
在計(jì)算過(guò)程中作如下假定[16]：(1)土顆粒不可壓縮；(2)應(yīng)變是微小的，孔隙率隨時(shí)間和空間的變化率與其他因素相比也是微小的；(3)液相和固相之間的加速度之差與固相的加速度相比非常小。
液相和固相的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)守恒方程為：
其中：
式中
、
和
分別為固相、液相和混合體的總體密度，
為固相速度，
為液相速度，
為固液相相互作用力，
為單位質(zhì)量體積力。飽和土中有效應(yīng)力與總應(yīng)力的關(guān)系為：
其中：
將式(2)、式(3)代入式(1)，再根據(jù)上述三個(gè)假定可得：
式中
、
為應(yīng)變張量和應(yīng)力張量，
為孔壓中的動(dòng)力分量，
為滲透系數(shù)，
為土中液相剛度，
為水重度，其余符號(hào)含義如前所示。
2.2 方程空間離散
對(duì)方程（4）進(jìn)行空間離散，可得
式中
，
，
，
，
和
分別為質(zhì)量矩陣，剛度矩陣，液相剛度矩陣，動(dòng)孔壓矩陣，表面力矩陣和固相位移矩陣；
采用時(shí)域內(nèi)無(wú)條件穩(wěn)定的Newmark方法進(jìn)行空間離散，令
最終可得：
式中：
2.3 邊界條件
為解決動(dòng)力有限元問(wèn)題，需要設(shè)置合適的邊界條件，為減少系統(tǒng)的總自由度，本文采用子結(jié)構(gòu)法對(duì)模型進(jìn)行凝聚處理。子結(jié)構(gòu)與其他子結(jié)構(gòu)或單元連接前，在該層子結(jié)構(gòu)內(nèi)將內(nèi)部自由度凝聚掉，凝聚前與凝聚后的子結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)如圖1所示。
(a) 凝聚前子結(jié)構(gòu) （b）凝聚后子結(jié)構(gòu)
圖1 凝聚前與后的子結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)
Fig. 1 Nodes of the pre-condensed and post-condensed sub-structure
子結(jié)構(gòu)內(nèi)按最小半帶寬的要求進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)，這時(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和交界面的節(jié)點(diǎn)方程為式（7），其中
為交界面節(jié)點(diǎn)自由度，
為需要被凝聚的自由度。通過(guò)Gauss-Jordan消去法可得式（8）。
化簡(jiǎn)式(8)可得式(9)：
3 算例驗(yàn)證
本文以L(fǎng)amb問(wèn)題為算例，驗(yàn)證所采用計(jì)算方法與人工邊界條件的正確性。其解析解已由Lamb給出[18]。計(jì)算參數(shù)取自文獻(xiàn)[18]，計(jì)算結(jié)果如圖2。由圖可知，采用本文所述的計(jì)算方法所得的數(shù)值結(jié)果與解析解答吻合較好，由此可見(jiàn)本文方法的正確性。對(duì)比有、無(wú)人工邊界條件計(jì)算結(jié)果，可見(jiàn)本文的人工邊界可以較好地透射出外行波，是一種有效的人工邊界條件。
圖2 Lamb問(wèn)題計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖
Fig. 2 Computational results comparison of Lamb’s problem
4 計(jì)算結(jié)果分析
文獻(xiàn)[17]表明群樁能夠起到明顯的減振作用，并增加樁-土體系剛度和質(zhì)量，減小承臺(tái)位移；在分層地基中上硬下軟地基比上軟下硬地基減振效果好。為進(jìn)一步分析群樁在列車(chē)豎向動(dòng)荷載作用下地表測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)，以飽和的多孔介質(zhì)地基為基礎(chǔ)，分別計(jì)算了不同樁型、樁長(zhǎng)、滲透系數(shù)、土體泊松比以及樁身彈性模量下群樁模型地面動(dòng)力響應(yīng)。
(a) 激振點(diǎn)動(dòng)荷載時(shí)程曲線(xiàn)
(b) 激振點(diǎn)動(dòng)荷載頻譜曲線(xiàn)
圖3 激振點(diǎn)動(dòng)荷載曲線(xiàn)
Fig. 3 Dynamic loading curves at the excitation point
(a) 4根群樁布置圖
(b) 16根群樁布置圖
圖4不同群樁布置圖
Fig. 4 Different layouts of pile groups 圖3為作用于承臺(tái)中心的豎向動(dòng)荷載時(shí)程和頻譜曲線(xiàn)，圖4為4根和16根兩種群樁布置圖，表1和表2為土層和樁身的計(jì)算參數(shù)，其中E為彈性模量，k為滲透系數(shù)，n為孔隙率。在下文分析中，采取控制變量法進(jìn)行分析。以4根群樁、上軟下硬土層為例，分析參數(shù)變化對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。
4.1不同布樁對(duì)隔振效果的影響
圖5、圖6為16根和4根群樁模型分別在原點(diǎn)和距原點(diǎn)8m處的豎向位移峰值曲線(xiàn)，由圖可知在上軟下硬土層中大型群樁模型能夠明顯的減小地表和承臺(tái)表面各測(cè)點(diǎn)的豎向位移峰值。圖7表明大型群樁基礎(chǔ)在一定程度上能有效地減小豎向位移幅值，并且對(duì)群樁周?chē)馏w影響較大。但采用何種布樁型式控制地表振動(dòng)應(yīng)綜合考慮工程造價(jià)和設(shè)計(jì)要求。
(a) 16根樁位移時(shí)程曲線(xiàn) (b) 4根樁位移時(shí)程曲線(xiàn)
圖5原點(diǎn)處位移時(shí)程曲線(xiàn)
Fig. 5 The displacement time history curve at point of origin
4.2群樁樁長(zhǎng)對(duì)隔振效果的影響
為分析群樁樁長(zhǎng)的動(dòng)力響應(yīng)影響，分別取樁長(zhǎng)為6m和10m計(jì)算。圖8至圖10為4根群樁不同計(jì)算點(diǎn)位的位移時(shí)程和幅值曲線(xiàn)。由圖可知，增加樁長(zhǎng)可在一定程度上減小上軟下硬地層地表土體和承臺(tái)表面的豎向位移幅值。即增加樁長(zhǎng)是保證短樁隔振效果的可行方法，但這種方法不能夠大幅度的減小豎向位移幅值，且在實(shí)際工程中還應(yīng)考慮增加樁長(zhǎng)而引起的增加工程造價(jià)和施工難度等。
4.3土層滲透系數(shù)k的影響
圖11-圖13為4根群樁上層軟土滲透系數(shù)k取不同數(shù)值時(shí)測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程和幅值曲線(xiàn)。由圖可知，即使?jié)B透系數(shù)不同，地表各測(cè)點(diǎn)的位移峰值曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)也是相似的。綜合不同樁型及不同土層的計(jì)算模型可得，土體滲透系數(shù)的增大雖然對(duì)模型的減振效果有利，但承臺(tái)周?chē)馏w體積較大，對(duì)承臺(tái)表面各個(gè)測(cè)點(diǎn)位移幅值的影響較小。
4.4土體泊松比 的影響
圖14-圖16為4根群樁地基土泊松比 取不同數(shù)值時(shí)測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程和幅值曲線(xiàn)。
由圖14、圖15可知，隨著土層泊松比取值的增加模型的隔振效果趨于明顯，尤其在承臺(tái)以外地表測(cè)點(diǎn)部分。不同測(cè)點(diǎn)處豎向位移峰值隨土體泊松比增加而變化的曲線(xiàn)如圖16所示，即隨測(cè)點(diǎn)距原點(diǎn)距離的增加，泊松比對(duì)隔振效果的影響越小。
4.5混凝土彈性模量E的影響
圖17至圖19為4根群樁的混凝土性模量E取不同數(shù)值時(shí)測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程和幅值曲線(xiàn)。
由圖17和圖18可知，隨著混凝土彈性模量取值的增大，豎向動(dòng)荷載作用點(diǎn)附近的位移幅值有較明顯的減??；但隨著測(cè)點(diǎn)與原點(diǎn)距離的增加，土體表面的位移幅值差異逐漸減小，最終趨于一致。
由圖19可知，如果樁身和承臺(tái)的模量取值較高，可有效地減小動(dòng)荷載作用點(diǎn)附近的豎向位移。但隨測(cè)點(diǎn)與作用點(diǎn)距離的增加，兩者的差異同樣的趨于一致。故如果在上軟下硬的地基土中設(shè)置群樁，提高樁基彈性模量可有效減小作用點(diǎn)處振動(dòng)位移，但不能減小較遠(yuǎn)處地表的振動(dòng)幅值。
5 結(jié) 論
利用三維飽和介質(zhì)中有限元的計(jì)算模型，計(jì)算了不同地質(zhì)條件下不同布樁的群樁動(dòng)力響應(yīng)，分析了模型的物理力學(xué)參數(shù)及幾何參數(shù)對(duì)群樁動(dòng)力響應(yīng)的影響，得出結(jié)論如下：
(1)不同布樁對(duì)豎向振動(dòng)的隔振效果是不同的，16根大型密布群樁的隔振效果明顯的優(yōu)于4根小型樁基，其差異取決于土層條件和樁身的材料參數(shù)。
(2)增加樁長(zhǎng)可在一定程度上提高群樁基礎(chǔ)的剛度，減小基礎(chǔ)的豎向位移，但幅值減小與樁長(zhǎng)的增加量在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)綜合分析。
(3)土層滲透系數(shù)的變化對(duì)承臺(tái)上各測(cè)點(diǎn)的位移幅值影響較小。但隨著滲透系數(shù)的增加，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的地表測(cè)點(diǎn)的位移幅值略有減少，這對(duì)周?chē)馏w隔振有一定效果。
(4)土體的泊松比對(duì)群樁的振幅影響非常明顯，尤其是距原點(diǎn)較遠(yuǎn)的地表土層測(cè)點(diǎn)。如土層泊松比取大值時(shí)，其位移幅值可減小約50﹪。
(5)樁身材料取彈性模量大的高強(qiáng)混凝土，可有效減少承臺(tái)頂面的位移幅值，但對(duì)較遠(yuǎn)處地表的振動(dòng)影響較小。
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